1. 复习平面向量数量积定义； 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.引入 两个非零向量夹角的概念： 已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O， 作OA＝a,OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角, 记作＜a,b＞． 说明(1) 0°≤≤180° 当＜a, b＞＝０时，a 与b同向； 当＜a, b＞＝π时，a 与b反向； 当＜a, b＞＝ 时，称a 与b垂直，记a⊥b．新课 2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b， |a||b|cos＜a,b＞叫做向量a、b的数量积， 记作a·b，即a ·b＝|a|| b|cos＜a ,b＞. 几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向 的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上 的射影B′，则A’ B’叫做向量AB在轴l上或在 e方向上的正射影，简称射影． l B A B’ A’ ē ā 3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数 量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质： ⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞； ⑵a⊥ ba ·b＝０ ⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜； 当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜. . a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. ⑷cos＜a,b＞＝ 4．空间向量数量积运算律： 数乘分配律： 分配律： 数乘结合律： 交换律： 不满足结合律： 问题：对于空间两个不共线且长度相等的向量 ， ， （1）试比较与的大小.（2）向量与的位置关系如何？ 解法1： 当 时 当 时 （1） （2）上面三个图形若为菱形，则 ＋与－垂直解法2： 观察 （1）（2）两式，也可得出与解法1相同的结论. 例1 已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A,B在α内,并且它们在l上的正射影分别为在β内,并且他们在l上的正射影分别为,求证: α l β B A’ A B’ C D C’ D’例题 例2 已知长方体ABCD-A?B?C?D?,AB=AA?=2, AD=4,E为侧面AB?的中心,F为A?D?的中点,计算下列数积:BC·ED?,BF·AB?,EF·FC?. D A B C a F E b A? c D? C? B?
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